အလျင်

ကား၏ လမ်းပေါ်လျှောက် တည်နေရာက အချိန်နှင့် အမျှ ပြောင်းလဲနေ၏၊ ထို့ကြောင့် အလျင် တခုခု ရှိနေ၏၊ အရပ်စကားနှင့်လျှင် "ရွေ့လျားနေသည်။" ပိုမိုတိကျသော ရူပဗေဒအားဖြင့်မူ ကား၏ (အာကာသထဲ၌ ကမ္ဘာမြေပြင်စတို့၏ ရွေ့လျားမှုနှင့် တပါတည်း ထပ်တူမကျနေသော) နှိုင်းရအလျင်မှာ ကမ္ဘာမြေနှင့် နှိုင်းစာလျှင် သုညမဟုတ်ဘဲ ရှိနေပုံ။

ရူပဗေဒသုံး အလျင် (တမ်းပလိတ်:Lang-en) ဗှတ္တာ (vector) $𝐯$ ဟူသည်မှာ သင်္ချာစကားဖြင့်လျှင် တည်နေရာ ဗှတ္တာ (position vector) $𝐱=x^i{\widehat{𝐞}}_i$ ၏ အချိန်နှင့်အလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း (derivative with respect to time) $\frac{d}{dt}$ ဖြစ်၏။ $$𝐯=\frac{d𝐱}{dt}$$ တပြန့်ညီသော ၃-တိုင်းကြောင်းပါ သမားရိုးကျရပ်ဝန်းဆန်သည့် ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ်အတွင်း၌မူ ဤသို့ ရိုးစင်းစွာ ဖြစ်ချေမည်။ $$𝐯=\frac{d}{dt}𝐱=\frac{d}{dt}(x^i{\widehat{𝐞}}_i)=\frac{d}{dt}(x\widehat{𝐢}+y\widehat{𝐣}+z\widehat{𝐤})=\frac{dx}{dt}\widehat{𝐢}+\frac{dy}{dt}\widehat{𝐣}+\frac{dz}{dt}\widehat{𝐤}$$

သို့နှင့် အရပ်စကားဖြင့်လျှင်၊ အရာဝတ္ထုတခုခု၏ တည်နေရာ $(x,y,z)$ တို့ အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲနေနှုန်း $\frac{d}{dt}$ သည်ပင် ထိုအရာ၏ အလျင်(velocity) $v$ တည်းဟူသော တိုင်းဖွယ် အခြင်းအရာ ဖြစ်တော့၏။
$\frac{dx}{dt}=v^x,\frac{dy}{dt}=v^y,\frac{dz}{dt}=v^z$ တို့ အသီးသီးက $X,Y,Z$ စံတိုင်(axis) သို့မဟုတ် တိုင်းကြောင်း(dimension) တို့ တလျှောက် အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာ ပြောင်းလဲနေနှုန်းများ အသီးသီး ဖြစ်သဖြင့်၊ ရွေ့လျားနေနှုန်း (သွားနှုန်း) အသီးသီး ဖြစ်တော့၏။ တိုင်းကြောင်း ၃ခုပါ ရပ်ဝန်းအတွင်း ထိုသို့ ၃ခု ဖြစ်နေသော အပိုင်းခွဲများက စုစည်း၍ တခုသော ဤ အလျင် (velocity) ကို "မည်သည့်ဘက်သို့ မည်မျှနှုန်း"ဟု စုပေါင်းဖော်ပြပေးသည့်နှယ် ရှိလေသဖြင့်၊ ပမာဏ (magnitude) နှင့် ဘက်လှည့်ချက် (direction) သဘော၂ရပ်လုံး ပါရှိကာ ဗှတ္တာ တိုင်းဖွယ် တစ်မျိုး ဖြစ်လေတော့၏။
ဤ အလျင်ဗှတ္တာ (veocity vector) ၏ ပမာဏရင်းသီးသန့်သဘောကို (ပမာဏသီးသန့်သဘော) စကေလာ တိုင်းဖွယ် ကွက်ယူကြည့်လျှင် အမြန်နှုန်း (speed) ဟူသော တိုင်းဖွယ် (quantity) ကို တွေ့ရမည်။

အလျင် (velocity) နှင့် အမြန်နှုန်း (speed) တို့၏ ကမ္ဘာသုံး စံယူနစ်မှာ "m/s" (သို့) "ms^-1" (meter per second) ဖြစ်၍၊ တစ်စက္ကန့်လျှင် တည်နေရာအားဖြင့် မီတာမည်မျှ ပြောင်းလဲသွားသည် ဟူသော အချိုးနှုန်းထား ဖြစ်၏။ သဘောတူ ပေတံကွဲ ယူနစ်များအဖြစ် တစ်စက္ကန့်အလျှင် ဘယ်နှပေနှုန်း၊ တစ်နာရီလျှင် ဘယ်နှကီလိုမီတာနှုန်း၊ တစ်နာရီလျှင် ဘယ်နှမိုင်နှုန်း စသည့် ယူနစ်များကိုလည်း တွေ့ရနိုင်၏။

ပျမ်းမျှအလျင် နှင့် ဖြစ်ခိုက်အလျင်

ပျမ်းမျှအလျင်

အရာဝတ္တုတခုခု၏ ပျမ်းမျှအလျင် (average velocity) $\overline{v}$ သို့မဟုတ် $v_{avg}$ ဆိုသည်မှာ အချိန်အတိုင်းအတာ တခု $\mathrm{\Delta }t$ အတွင်း၌ ၎င်းအရာဝတ္ထု၏

• ရွေ့လျားဖြစ်မြောက်သည့် တည်နေရာ ကွာခြားချက် $\mathrm{\Delta }x$ (သို့)
• ၎င်းအရာဝတ္ထု၏ အရွေ့(dispalcement) ဖြစ်ပေါ်ချက် $\mathrm{\Delta }s$ ကို

ထို $\mathrm{\Delta }t$ နှင့် စားခြင်း ဖြစ်၏။ $$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$$

ဤ ပျမ်းမျှအလျင် အချိုးတွက်ကိန်း တိုင်းဖွယ် (quantity) သည်၊ ယူတွက်လိုက်သည့် $\mathrm{\Delta }t=t_f-t_i$ ပမာဏကြီးလျှင် ကြီးသလောက် ရွေ့လျားမှုခရီး တလျှောက်၌ အရာဝတ္ထု၏ မည်မျှ ပိုနှေးသွားသေးခြင်း၊ မည်မျှ ပိုမြန်သွားသေးခြင်း အချက်အလက်တို့ကိုမူ ဖော်ပြနေမည် မဟုတ်၊ ခရီးအစအဆုံးကို တမတ်တည်းသော (ကိန်းသေ) အလျင်နှင့် ရွေ့လျားလိုက်သည့်အလားသာ အကြမ်းဖျင်း ဖော်ပြနေပေမည်။

ဖြစ်ခိုက်အလျင်

အလျင်၏ သင်္ချာအားဖြင့် ယေဘုယျကျသော ဖော်ပြသွင်မှာ ဖြစ်ခိုက်အလျင် (instantaneous velocity) ဖြစ်၏။
၁၆၀၀ ခုနှစ်ကျော် ကာလများတွင် ပြောင်းလဲခြင်း သင်္ချာ (Calculus) ကဏ္ဍ ဖွံ့ဖြိုးလာသည်နှင့်အလိုက်၊ ပျမ်းမျှသဘောအလျင် $v=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$ တွက်ထုတ်ခြင်းတွင် ပမာဏခပ်ကြီးကြီးသော $\mathrm{\Delta }t$ နေရာ၌ တမွတ်စိတ်မျှသော အချိန် $dt$ ကလေးသာ ဟု ထည့်တွက်ရန် နျူတန်၊ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စသူတို့ စိတ်ကူးလာကြ၏။ ထိုအချိန်တို အခိုက်လေးအတွင်း ရွေ့လျားသွားနှုန်း $\mathrm{\Delta }x$ မှာလည်း ပမာဏသေးငယ်လှ၍ သင်္ချာအားဖြင့် $dx$ ဟု အစားထိုး ဖော်ပြတန်လောက်၏၊ ရွေ့လျားမှု ဖြစ်စဉ်ရှည်က အကွေးအဝိုက်လမ်းကြောင်းများ ပါသည့်တိုင် အခိုက်တို $dt$ အတွင်း ရွေ့လျားသွားသည့် $dx$ အကွာအဝေး တမွတ်စိတ်ပိုင်းငယ်မှာ မျဉ်းဖြောင့်ဟု သဘောအားဖြင့် ဖြစ်ချိမ့်မည်၊ မျဉ်းကွေးအရွေ့လမ်းကြောင်း၏ ဝန်းထိမျဉ်းဖြတ်ပိုင်းစိပ် $dx$ ဖြောင့်ဖြောင့်လေးသဘော ဖြစ်မည်။
အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာ $x$ သည် အချိန် $t$ နှင့် လိုက်၍ ပြောင်းလဲနေအံ့၊ $t$ တိုင်းဖွယ် (အခြင်းအရာ) က အမှီခိုခံ ပြောင်းလဲကိန်း (variable) ဖြစ်သွား၍ တည်နေရာ $x$ က ၎င်းအပေါ် မှီခိုသည့် ရလဒ် (ဖှန်ရှင်) ဖြစ်သွားလတ္တံ၊ “အချိန်၏ ရလဒ် (function of time)” မြောက်သွားလတ္တံ့။ ထိုအချက် မြောက်သွားကြောင်းကို “$x=x(t)$” ဟု သင်္ချာ၌ ရေးကြ၏။
သို့နှင့် အချိန် တမွတ်စိတ်အပိုင်း $dt$ ဖြင့် ဖြစ်ခိုက်အလျင် $v(t)$ ကို တွက်ထုတ်လိုသည့်အခါ "$dt=x_f-x_i$ တန်ဖိုးက သုညသို့ ချဉ်းကပ်ခြင်း" အချက်ကို အားပြုယူ၍ ဤသို့ ဆက်တွက်ရာ၏။ $$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$ $$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\delta t)-x(t-\delta t)}{2\delta t}$$ $\mathrm{\Delta }t$ (သို့) $\delta t$ က သုည ဖြစ်သွားချိန်၌ ရှိတန်မည့် $\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$ (သို့) $\frac{\delta x}{\delta t}$ ၏ ရှိတန် တန်ဖိုး (limit) ကို တွက်ထုတ်ခြင်း ဖြစ်၏။ အထက်ပါ ၂နည်းမှာ သင်္ချာသဘောချင်း ထပ်တူနှင်နှင်သာ ဖြစ်၍၊ မိမိတွက်ချက်လိုရာ ပုစ္ဆာအလိုက် အသုံးဝင်သည့် အခင်းအကျင်းကို ရွေးယူတွက်တတ်ကြ၏။
ပျမ်းမျှအမြန်နှုန်း (average speed) က ကိန်းထီး တိုင်းဖွယ် သီးသန့်အထင်း ဖြစ်သော်လည်း ဖြစ်ခိုက်အမြန်မှုန်း (instantaneous speed) ကမူ ဤ ဖြစ်ခိုက်အလျင် (instantaneous velocity) နှင့် ထပ်တူမျှပင် ကျ၏၊ အကြောင်းမှာ အလွန်သေးငယ်သောအချိန်အပိုင်းအခြားတွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အရွေ့တန်ဖိုး(displacement) နှင့် သွားခဲ့သော အကွာအဝေး(distance) တူညီသွားခြင်းကြောင့်တည်း။

ကိန်းသေအလျင်နှင့် ပြောင်းလဲအလျင် အမျိုးမျိုး

အလျင်(velocity)က ကိန်းသေငြိမ်သလော၊ ပြောင်းလဲသလော ဟူသည်မှာ ၎င်း၏ အချိန် တိုင်းကြောင်းအလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း (derivative with respect to time) သုည ဖြစ်ခြင်း မဖြစ်ခြင်းနှင့် ခွဲရာ၏။

ကိန်းသေအလျင်

$\frac{d}{dt}v=0$

ဟူသော ရလဒ်ထွက်နေလျှင် ထိုအလျင် $v$ က ကိန်းသေအလျင် (constant velocity) ဖြစ်၏၊ အချိန်နှင့်လိုက်၍ ပြောင်းလဲမနေသော (သို့) တသမတ်တည်း ဖြစ်နေသော အလျင် ဖြစ်၏။
အလျင်က တည်နေရာ၏ အချိန်အလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း ဖြစ်နေစဉ်တွင်၊ အဆိုပါ အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာက အချိန် t</math> အပေါ် မှီခိုရလဒ် (fucntion) ဖြစ်မနေလျှင်လည်း၊ တနည်းအားဖြင့် ကိန်းသေ $x_0$ ဖြစ်နေလျှင် (အရပ်သုံးစကားဖြင့် တည်ငြိမ် ရပ်တံ့နေလျှင်)လည်း၊ $$\frac{d}{dt}(v)=\frac{d}{dt}(\frac{d{x}_0}{dt})=\frac{d}{dt}(0)=0$$ ဟု ဖြစ်သွားကာ အလျင်သုညနှင့် ရပ်နေခြင်းသည်လည်း ကိန်းသေအလျင် ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှား၏။
ထို့အတူပင် ရွေ့လျားနေသော်လည်း (သုညမဟုတ်သည့် အလျင် $v\ne 0$ တခုခုနှင့် သွားနေသော်လည်း)

• နှေးလာခြင်း-မြန်လာခြင်း ဟူသော ပမာဏ(magnitude) ပြောင်းလဲမှု မရှိ၊
• ကွေ့ဝိုက်ခြင်း ဟူသော ဦးတည်ချက်(direction) ပြောင်းလဲမှု မရှိ၊

သည်အတိုင်းနှုန်းငြိမ် ဆက်ရွေ့နေလျှင်လည်း ကိန်းသေအလျင် မည်ပေမည်။

ကိန်းသေမဟုတ်သော (ပြောင်းလဲ) အလျင် အမျိုးမျိုး

$a=\frac{d}{dt}v\ne 0$

ဟူသော ရလဒ် ဖြစ်ပေါ်နေသရွေ့ အလျင် $v$ က အချိန်ကြာလာသည်နှင့်အမျှ

• နှေးခြင်း-မြန်ခြင်း (အမြန်နှုန်း ပမာဏ ပြောင်းလဲမှု) ‌ရှိနေမည်၊ သို့မဟုတ်
• ကွေ့ခြင်းဝိုက်ခြင်း (ဦးတည်ချက် လားရာ ပြောင်းလဲမှု) ရှိနေမည်၊ သို့မဟုတ်
• နှစ်မျိုးလုံး ပြောင်းလဲလျှင် ပြောင်းလဲနေမည် ဟု ဆိုလို၏။

တနည်းအားဖြင့် အလျင်ပြောင်းနှုန်း (acceleration) $a=\frac{dv}{dt}\ne 0$ တခုခု ဖြစ်ပေါ်နေမည် ဟု ဆိုလို၏။

ကိန်းသေအလျင်ပြောင်းနှုန်း ဖြစ်ပေါ်နေစေမည့် အလျင်မျိုး

တည်နေရာ ဖြစ်ပေါ်နေမှုက $x=x(t)=k{t}^2+x_0$ ဟူသကဲ့သို့ အချိန် $t$ ၏ ထပ်ညွှန်းကိန်း 2 ဖြစ်နေလျှင် ထိုအရာဝတ္ထု၏ အလျင် $v=\frac{dx}{dt}$ က အချိန်နှင့်အမျှ ပမာဏလည်း ပြောင်းလဲနေပြီး ၎င်း၏ အလျင်ပြောင်းနှုန်း $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ ကမူ ကိန်းသေတစ်ခု $a_0$ ဖြစ်နေပေမည်။ $$a(t)=a_0=\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)$$ $$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=v_0+a_{0}t$$ $$x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2$$

ပြောင်းလဲအလျင်ပြောင်းနှုန်း ဖြစ်ပေါ်နေစေမည့် အလျင် အမျိုးမျိုး

တည်နေရာ ဖြစ်ပေါ်နေမှုက $x=x(t)=k{t}^n+x_0$ ဟူသကဲ့သို့ ပုံစံမျိုး၌ ထပ်ညွှန်းကိန်း $n$ က 0, 1, 2 ဤတန်ဖိုး၃မျိုးမှ လွဲ၍ အခြား ဖြစ်နေလျှင်မူ အလျင် $v=\frac{dx}{dt}$ က အချိန်နှင့်အမျှ ပမာဏလည်း ပြောင်းလဲနေသည့်အပြင် ၎င်း၏ အလျင်ပြောင်းနှုန်း $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{x}^2}$ ကလည်း ကိန်းသေမဟုတ်ဘဲ အချိန် $t$ လိုက် ပြောင်းလဲနေပေမည်။