အတိုင်းဆတာအုံ

အကာသ-အချိန် (ခေါ်) လောကဇာတ်ခုံ (spectime) အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၏ နေရာအကွာအဝေးနှင့် အချိန်ကုန်ဆုံးမှု သဘောတရားသည် အတိုင်းဆတာအုံ (metric tensor) ၏ အဆုံးအဖြတ်အတိုင်း ဖြစ်ရ၏။

အတိုင်းဆရှိ သဏ္ဌာန်ရာ ရပ်ဝန်း တခုခု၏ ဖြစ်အင်ထု သဘောသရုပ်ဆန်သော အတိုင်းဆတာအုံ (ခေါ်) မတ်ထြစ်တန်ဇာ (အင်္ဂလိပ်: metric tensor) ဆိုသည်မှာ - ၎င်းရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ အလျား၊ ဧရိယာ၊ ထုထည်စသော သဘောတရားများကိုယ်တိုင်၏ ဖွဲ့စည်းပုံတို့ ပေါ်လာအောင် ပုံဖော်ပေးသည့် သင်္ချာသရုပ် ၂-ကြောင်းဆွဲ တာအုံ ဖြစ်၏။ နေရာသီးသန့်သဘောအဖို့ အတိုင်းဆဖြစ်ခဲ့သော အရာသည် (ကိန်းအုံတို့ဖြင့် ဖော်ညွှန်းတွက်ချက်မှု၌) အာကာသ-အချိန်အဖို့ အတိုင်းဆတာအုံ ဖြစ်သွားပုံမှာ သဘောသရုပ်ချင်း အပြိုင်ပင် ဖြစ်သည်။

သင်္ချာ

ရပ်ဝန်းတမျိုးမျိုး၏ အောက်ညွှန်းလုံးကျ (lower-indexked) အတိုင်းဆတာအုံ $𝐠$ ၏ တာစ(component) များကို ဤသို့ တွက်ထုတ်စစ်ဆေးနိုင်၏။

$g_{\alpha \beta }={\widehat{𝐞}}_{\alpha }\cdot {\widehat{𝐞}}_{\beta }$

${\widehat{𝐞}}_{\alpha }$ နှင့် ${\widehat{𝐞}}_{\beta }$ တို့က စံအလွှားစိပ်များကို ကိုယ်စားပြုသည်။

တိုင်းကြောင်း ၃ခုနှင့်သော ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ် $(x,y,z)$ ၏ အတိုင်းဆတာအုံက အောက်ပါတိုင်း ဖြစ်မည်။ $$\left[\begin{array}{ccc}{g}_{11}& g_{12}& g_{13}\\ g_{21}& g_{22}& g_{23}\\ g_{31}& g_{32}& g_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\widehat{𝐢}\cdot \widehat{𝐢}& \widehat{𝐢}\cdot \widehat{𝐣}& \widehat{𝐢}\cdot \widehat{𝐤}\\ \widehat{𝐣}\cdot \widehat{𝐢}& \widehat{𝐣}\cdot \widehat{𝐣}& \widehat{𝐣}\cdot \widehat{𝐤}\\ \widehat{𝐤}\cdot \widehat{𝐢}& \widehat{𝐤}\cdot \widehat{𝐣}& \widehat{𝐤}\cdot \widehat{𝐤}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

၂-တိုင်းကြောင်း ဝိုင်းလှည့် အမှတ်ချအိမ် ၏ အတိုင်းဆအာအုံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။ $$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\widehat{𝐫}\cdot \widehat{𝐫}& \widehat{𝐫}\cdot \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\theta }}\cdot \widehat{𝐫}& \hat{\mathit{\theta }}\cdot \hat{\mathit{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r\end{array}\right]$$