အစက်ချမြှောက်လဒ်

Illustration showing how to find the angle between vectors using the dot product

သင်္ချာတွင်၊ ဗှတ္တာ ၂ခု၏ ထပ်ခြင်းပြ ကိန်းလုံး (တမ်းပလိတ်:Lang-en) သို့မဟုတ် အစက်ချမြှောက်လဒ် (တမ်းပလိတ်:Lang-en) ဆိုသည်မှာ ၎င်းဗှတ္တာတို့၏ အစိတ်အပိုင်း(component) ကိန်းလုံးများကို ယူမြှောက်လျက်၊
သမားရိုးကျ ယူကလစ်ဒ်ရပ်ဝန်းသဘောနှင့် ဆိုလျှင်၊ ထိုဗှတ္တာ၂ခု၏ ဘက်လှည့်ပုံ(orientation)တို့ -

• အချင်းချင်း ထပ်တူကျနေလျှင် ကျသလောက် ပမာဏကြီးကာ
• အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေလျှင် (အမှတ်ချအိမ်အတွင်း သီးသန့်စံတိုင်များအတိုင်း ဗှတ္တာတို့ သီးသီးခြားခြား ဘက်လှည့်မှု ရှိနေလျှင်) သုညထုတ်ပေးပြီး
• ဘက်လှည့်ချင်း ဆန့်ကျင်သလောက် အနုတ်ကိန်းနှင့် ထုတ်ပေးနေမည့်၊

မြှောက်လဒ် ဖြစ်၏။

သာဓကအားဖြင့်
$𝐚=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ ဟူသည့် ဗှတ္တာနှင့်
တမ်းပလိတ်:Nowrap ဟူသည့် ဗှတ္တာ တို့က
ယခု အမှတ်ချအိမ်အတွင်း၌ ထောင့်သန့်အစိပ်ညီ (orthonormal) အလွှားစိပ် (basis) တို့ဖြင့် တွဲစပ်‌ပေါ်လွင်သည် ဖြစ်သော်၊
၎င်း ဗှတ္တာ၂ခု၏ ထပ်ခြင်းပြ ကိန်းလုံး (scalar product) သို့မဟုတ် အစက်ချမြှောက်လဒ် (dot product) $𝐚\cdot 𝐛$ မှာ ဤသို့ ဖြစ်၏။

$$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

ဤတွင် $\mathrm{\Sigma }$ သင်္ကေတမှာ ပေါင်းလဒ်သင်္ကေတ (summation) ဟု ခေါ်၍၊ $n$ နေရာ၌ ပါမည့် ကိန်းဂဏန်းမှာ တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် ဖြစ်ပြီး ထို $\mathrm{\Sigma }$ အရ ပေါင်းရမည့် ပေါင်းကိန်း အရေအတွက်မှာ ထို တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် နှင်နှင်သာ ဖြစ်မည်။
အကယ်၍ စဉ်းစားကိုင်တွယ်နေသည့် ရပ်ဝန်း၏ သဘောသဘာဝအလျောက် သင်္ချာစကားဖြင့် စံအလွှားစိပ် တို့က ထောင့်သန့်အစိပ်ညီ မဖြစ်ခဲ့လျှင်၊ ဥပမာအားဖြင့် ထောင့်သန့် (orthogonal) သာ ဖြစ်လျက် အစိပ်ညီ (normal) မဖြစ်ခဲ့လျှင်လည်း၊ တွက်နည်းက ဤမျှ ရိုးစင်းတော့မည် မဟုတ်ဘဲ (0 နှင့် 1 တို့ချည်း မဟုတ်တော့သော) အတိုင်းဆတာအုံ၏ တာစကိန်းလုံးတို့ ပါဝင်လာပေဦးမည်။

သို့သော် ခပ်ရိုးစင်းစင်း သာဓကအားဖြင့် တိုင်းကြောင်း-၃ခုပါ (3-dimensional) သမားရိုးကျ ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space)အတွင်း၌ ဤသို့ ဖြစ်မည်။ $$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^{n=3}{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$ သို့မဟုတ် $$𝐚\cdot 𝐛=a^x{b}^x+a^y{b}^y+a^z{b}^z$$

ထို့နောက် တမ်းပလိတ်:Nowrap နှင့်တမ်းပလိတ်:Nowrap ဟူသော ဗှတ္တာ၂ခု၏ အစက်ချမြှောက်လဒ်မှာ - $$\begin{array}{cc}[1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]& =(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\ & =4-6+5\\ & =3\end{array}$$ ဟု ဖြစ်ပေတော့မည်။

တမ်းပလိတ်:Nowrap ကို တမ်းပလိတ်:Nowrap နှင့် အစက်ချမြှောက်လဒ် ပြန်ပြုကြည့်လျှင် ၎င်း၏ ကိုယ်ပြန်မြှောက်လဒ် (inner product) အဖြစ် - $$\begin{array}{cc}[1,3,-5]\cdot [1,3,-5]& =(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\ & =1+9+25\\ & =35\end{array}$$ ထွက်ပေါ်ရရှိမည်။