ဧရိယာ၏ ရင်းမြစ်ကို ကြည့်ရန်

[[File:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|right|thumb|The combined area of these three shapes is approximately 15.57 squares.]]
'''ဧရိယာ'''သည် [[Quantity|ပမာဏ]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး နှစ်ဖက်မြင်ပုံ ( [[two-dimensional]] figure) သို့ [[Shape|ပုံသဏ္ဌာန်]]၊ သို့ [[Plane (geometry)|ပြင်ညီ]]ရှိ planar lamina တို့၏ ပမာဏကို ဖော်ပြသည်။ 

ပုံတစ်ခု၏ ဧရိယာကို တိကျသောအရွယ်အစားရှိသည် [[Square|စတုရန်း]]နှင့် နှိုင်းယှဉ်၍ တိုင်းတာနိုင်သည်။<ref name="AF" /> [[အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ ယူနစ် စနစ်|အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာယူနစ်စနစ်]] (SI) တွင် ဧရိယာ၏ စံယူနစ်မှာ [[Square metre|စတုရန်းမီတာ]] (m<sup>2</sup> ဟုရေးရသည်) ဖြစ်ပြီး ထိုစတုရန်း၏ဧရိယာကို ရရှိစေသော အနားတစ်ခုသည် ၁ [[မီတာ]] ရှည်သည်။<ref name="B">[//en.wikipedia.org/wiki/Bureau_International_des_Poids_et_Mesures Bureau International des Poids et Mesures] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> ၃ စတုရန်းမီတာ ဧရိယာရှိသော ပုံသဏ္ဍန်တစ်ခုသည် ထိုကဲ့သို့ပင် ၃ မီတာရှည်သော အနားရှိသည့် စတုရန်း၏ ဧရိယာနှင့် တူညီသောဧရိယာရှိမည်ဖြစ်သည်။ [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာရပ်]]တွင် [[unit square]] ဆိုသည်မှာ ဧရိယာသည် ၁ ရှိရမည်ဖြစ်ပြီး အခြားသောပုံသဏ္ဌာန်များနှင့် မျက်နှာပြင်များသည် [[Dimensionless quantity|dimensionless]] [[real number]] များဖြစ်ကြသည်။

[[Triangle|တြိဂံ]]၊ [[Rectangle|ထောင့်မှန်စတုဂံ]]နှင့် [[စက်ဝိုင်း]]ကဲ့သို့.ရိုးရှင်းသောပုံများအတွက် ဧရိယာရှာရန် ဆိုင်ရာပုံသေနည်းများကို သိရှိကြပြီးဖြစ်သည်။ ထိုပုံသေနည်းများကို အသုံးပြု၍ မည်သည့် [[Polygon|ဗဟုဂံ]]အတွက်မဆို ဧရိယာရှာရန် [[Polygon triangulation|ဗဟုဂံအား တြိဂံများအဖြစ်သို့ ပိုင်းဖြတ်ခြင်း]]ဖြင့် ရှာနိုင်သည်။<ref name="bkos">{{Cite book|last=Mark de Berg|year=2000|chapter=Chapter 3: Polygon Triangulation|title=Computational Geometry|url=https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365|edition=2nd revised|publisher=[[Springer-Verlag]]|pages=[https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365/page/n51 45]–61|isbn=3-540-65620-0}}</ref> မျဉ်းကွေးများဖြင့် ပိုင်းခြားထားသောပုံများအတွက် [[ကဲကုလပ်]]ဖြင့် ထိုဧရိယာများကို တွက်ထုတ်ရန် လိုအပ်ပေသည်။  Indeed, အမှန်တော့ ထိုကဲ့သို့ တွက်ချက်နိုင်ခဲ့ခြင်းပင်လျှင် [[History of calculus|ကဲကုလပ်ဘာသာရပ်သမိုင်းအတွက်  တိုးတက်ပြောင်းလဲမှုကြီး]]ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite book|last=Boyer|year=1959|authorlink=Carl Benjamin Boyer|first=Carl B.|title=A History of the Calculus and Its Conceptual Development|url=https://archive.org/details/historyofcalculu0000boye|publisher=Dover|isbn=0-486-60509-4}}</ref>



== ယူနစ်များ ==
[[File:SquareMeterQuadrat.JPG|alt=A square made of PVC pipe on grass|right|thumb|A square metre quadrat made of PVC pipe.]]
[[Unit of length|အလျားယူနစ်]]တိုင်းတွင် ဆိုင်ရာ ဧရိယာ၏ ယူနစ်များရှိကြသည်။  ထိုကြောင့် ဧရိယာကို [[Square metre|စတုရန်းမီတာ]] (m<sup>2</sup>)၊ စတုရန်းစင်တီမီတာ (cm<sup>2</sup>)၊ စတုရန်းမီလီမီတာ (mm<sup>2</sup>)၊ [[Square kilometre|စတုရန်းကီလိုမီတာ]] (km<sup>2</sup>)၊ [[Square foot|စတုရန်းပေ]] (ft<sup>2</sup>)၊ [[Square yard|စတုရန်းကိုက်]] (yd<sup>2</sup>)၊ [[Square mile|စတုရန်းမိုင်]] (mi<sup>2</sup>) အစရှိသဖြင့်တို့နှင့် တိုင်းတာနိုင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ ထိုယူနစ်များသည် သက်ဆိုင်ရာ အလျားယူနစ်များ၏[[Square (algebra)| နှစ်ထပ်ကိန်း]]များအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။

ဧရိယာ၏ SI ယူနစ်သည် စတုရန်းမီတာဖြစ်သော်ကြောင့် [[SI derived unit|SI မှ ဆင်းသက်လာသော ယူနစ်]]ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။

=== ယူနစ်များပြောင်းလဲခြင်း ===
[[File:Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png|alt=A diagram showing the conversion factor between different areas|right|thumb|320x320px|Although there are 10 mm in 1 cm, there are 100 mm<sup>2</sup> in 1 cm<sup>2</sup>.]]
အလျားနှင့် အနံ  ၁ မီတာရှိသော စတုန်းရန်း၏ဧရိယာကို တွက်ချက်မည်ဆိုလျှင်:

၁ မီတာ x ၁ မီတာ = ၁ စတုရန်းမီတာ (m2)

ထို့ကြောင့် နောက်ထပ် အနားမတူညီသော စတုရန်း၏ ဧရိယာကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်:

၃ မီတာ x ၂ မီတာ = ၆ စတုရန်းမီတာ (m<sup>2</sup>)

သို့ပေမယ် ဒါဟာ ၆ မီလီယံ စတုရန်းမီလီမီတာနှင့် ညီမျှမှာ ဖြစ်သည်။ အောက်တွင်ဖော်ပြထားသည်တို့အား ဆက်လက်ကြည့်ရှုကြည့်ပါ- 
* ၁ စတုရန်း ကီလိုမီတာ = [[မီလီယံ|၁,၀၀၀,၀၀၀]] စတုရန်းမီတာ
* ၁ စတုရန်း မီတာ = [[10000 (number)|၁၀,၀၀၀]] စင်တီမီတာစတုရန်း= ၁,၀၀၀,၀၀၀ စတုရန်း
* ၁ စတုရန်း စင်တီမီတာ = [[100 (number)|၁၀၀]] စတုရန်း မီလီမီတာ

==== မက်ထရစ်စနစ်မဟုတ်သော ယူနစ်များ ====
မက်ထရစ်စနစ်မဟုတ်သော ယူနစ်များတွင် စတုရန်းယူနစ်နှစ်ခုအကြားပြောင်းလဲခြင်းသည် သင့်လျော်သော အလျားယူနှစ်များအကြား [[:en:Square (algebra)|နှစ်ထပ်ကိန်း]]ပြောင်းလဲခြင်းဖြစ်သည်။
: ၁ [[:en:Foot (unit)|ပေ]] = ၁၂ [[:en:Inch|လက်မ]]
စတုရန်းပေနှင့် စတုရန်းလက်မအကြား ဆက်နွယ်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။
: ၁ စတုရန်းပေ = ၁၄၄ စတုရန်းလက်မ
အဲဒီ၌ ၁၄၄ = ၁၂<sup>၂</sup> = ၁၂ × ၁၂။ ထိုအတူပင်:
* ၁ စတုရန်းကိုက် = ၉ စတုရန်းပေ
* ၁ စတုရန်းမိုင် = ၃,၀၉၇,၆၀၀ စတုရန်းကိုက် = ၂၇,၈၇၈,၄၀၀ စတုရန်းပေ<br>
ဖြည့်စွက်ချက်အနေဖြင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြောင်းလဲခြင်းများလည်း ပါဝင်ပေသည်:
* ၁ စတုရန်းလက်မ = 6.4516 စတုရန်းစင်တီမီတာ
* ၁ စတုရန်းပေ = {{gaps|0.092|903|04}} စတုရန်းမီတာ
* ၁ စတုရန်းကိုက် = {{gaps|0.836|127|36}} စတုရန်းမီတာ
* ၁ စတုရန်းမိုင် = {{gaps|2.589|988|110|336}} စတုရန်းကီလိုမီတာ

== သမိုင်းကြောင်း ==

=== စက်ဝိုင်းဧရိယာ ===
=== တြိဂံ၏ဧရိယာ ===
ဟီးရိုး([[:en:Hero of Alexandria|Heron (or Hero) of Alexandria]])သည် တြိဂံများကို ၎င်းတို့၏ အနားများအရ ရှာဖွေသော ဧရိယာရှာရန် ပုံသေနည်းဖြစ်သည့် [[:en:Heron's formula|Heron's formula]] ကို တွေ့ရှိခဲ့ပြီး ထိုသက်သေပြချက်ကို ၆၀ ရာစုပတ်ဝန်းကျင်တွင် ရေးသားခဲ့သော ၎င်း၏ စာအုပ်ဖြစ်သည့် ''Metrica'' တွင် တွေ့နိုင်သည်။ [[အာခီမီးဒီးစ်]]သည် ထိုပုံသေနည်းကို နှစ်ရာစုကျော်ကတည်းက ဖော်ပြပြီးဖြစ်သည်ဟုလည်းဆိုသည်။<ref>{{cite book
| author=Heath, Thomas L.
| title=A History of Greek Mathematics (Vol II)
| publisher=Oxford University Press
| year=1921
| pages=321–323}}</ref> ''Metrica''  သည် ရှေးခေတ်က တွေ့ရှိခဲ့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အသိဗဟုသုတများကို စုစည်းထားခြင်းဖြစ်ပြီး ထိုပုံသေနည်းသည် ရည်ညွှန်းစာအုပ်ထက် အလျင်ဦးစွာ ပေါ်ထွက်ခဲ့သည်မှာလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။<ref>{{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>


[[:en:Classical age|Classical age]]၊ ၄၉၉ ခုနှစ်တွင် အိန္ဒိယလူမျိုး နက္ခတ္တပညာရှင်နှင့် သင်္ချာပညာရှင်ဖြစ်သူ [[:en:Aryabhata|Aryabhata]] သည် တြိဂံ၏ ဧရိယာကို ၎င်း၏ အခြေအနားတစ်ဝက်နှင့် အမြင့်မြှောက်ခြင်းဖြစ်သည်ဟု ''[[:en:Aryabhatiya|Aryabhatiya]]'' (section 2.6) တွင် ဖော်ပြခဲ့သည်။


Heron ၏ ပုံသေနည်းနှင့်တူညီသော ပုံသေနည်းကို တရုတ်၌လည်း ဆက်စပ်ခြင်းမရှိပဲ တွေ့ရှိခဲ့သည်။ ၎င်းပုံသေနည်းကို [[:en:Qin Jiushao|Qin Jiushao]] ရေးသားသော"  [[:en:Mathematical Treatise in Nine Sections|Mathematical Treatise in Nine Sections]]" ({{zh|t=數書九章|s=数书九章|p=Shùshū Jiǔzhāng|w=Shushu Chiuchang}}) တွင်ဖော်ပြခဲ့သည်။

=== စတုဂံဧရိယာ ===
၇ ရာစုတွင် ဗြဟ္မပုတ္တရ([[:en:Brahmagupta|Brahmagupta]])သည် ယခုအခါတွင် ဗြဟ္မပုတ္တရပုံသေနည်း([[:en:Brahmagupta's formula|Brahmagupta's formula]])ဟုသိရှိကြသည့် စက်ဝိုင်းအတွင်း ရေးဆွဲထားသော စတုဂံများ([[:en:cyclic quadrilateral|cyclic quadrilateral]])၏ ဧရိယာကို ရှာဖွေနိုင်မည့်ပုံသေနည်းကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၁၈၄၂ ခုနှစ်တွင် ဂျာမန်သင်္ချာပညာရှင်များဖြစ်ကြသော [[:en:Carl Anton Bretschneider|Carl Anton Bretschneider]] နှင့် [[:en:Karl Georg Christian von Staudt|Karl Georg Christian von Staudt]] တို့သည် မည်သို့သော စတုဂံများ၏ ဧရိယာကိုမဆို ရှာဖွေနိုင်မည့် ပုံသေနည်းကို သီးခြားစီ တွေ့ရှိခဲ့သည်။ နောင်တွင် ၎င်းပုံသေနည်းကို [[:en:Bretschneider's formula|Bretschneider's formula]] ဟု လူသိများလာသည်။

=== ယေဘုယျ ဗဟုဂံ ဧရိယာ ===
၁၇ ရာစုတွင် [[ရနေး ဒေးကာ့]]၏ ကာတေးရှန်းကိုဩဒိနိတ်([[:en:Cartesian coordinates|Cartesian coordinates]]) ပေါ်ထွန်းလာသောအခါ ၁၉ ရာစု၌ [[ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်|ဂေါက်]]၏ ထိပ်စွန်းများ([[:en:vertex (geometry)|vertex]])၏ တည်နေရာ သတ်မှတ်နိုင်ခြင်းနှင့်အတူ မည်သို့သော ဗဟုဂံမဆို ဧရိယာရှာဖွေနိုင်မည့် [[:en:Shoelace formula|surveyor's formula]] သည်လည်း ဖွံဖြိုးလာသည်။

== ဧရိယာပုံသေနည်းများ ==

=== ဗဟုဂံ ===
For a non-self-intersecting (simple) polygon, the Cartesian coordinates <math>(x_i,  y_i)</math> (''i''=0, 1, ..., ''n''-1) of whose ''n'' vertices are known, the area is given by the surveyor's formula:<ref>{{cite web|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|title=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|last=Bourke|first=Paul|date=July 1988|work=|publisher=|accessdate=6 Feb 2013|archivedate=16 September 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf}}</ref>
: <math>A = \frac{1}{2} | \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) |,</math>
where when ''i''=''n''-1, then ''i''+1 is expressed as modulus ''n'' and so refers to 0.

==== ထောင့်မှန်စတုဂံ ====
[[File:RectangleLengthWidth.svg|alt=A rectangle with length and width labelled|right|thumb|180x180px|ဖော်ပြပါထောင့်မှန်စတုဂံ၏ ဧရိယာသည်&#x20;lw ဖြစ်သည်။]]
အခြေခံအကျဆုံး ဧရိယာပုံသေနည်းမှာ [[Rectangle|ထောင့်မှန်စတုဂံ]]၏ ဧရိယာပုံသေနည်းဖြစ်သည်။ အလျား l နှင့် အနံ w ပေးထားသော ထောင့်မှန်စတုဂံ၏ ဧရိယာအား တွက်ရန်ပုံသေနည်းမှာ:<ref name="AF">{{cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|accessdate=2 July 2012}}</ref><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title=Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|accessdate=29 May 2016}}</ref>
: ''A'' = ''lw''&nbsp;(ထောင့်မှန်စတုဂံ)
ဆိုလိုသည်မှာ ထောင်မှန်စတုဂံ၏ ဧရိယာသည် အလျားနှင့် အနံမြှောက်ခြင်းဖြစ်သည်။ သီးသန့်အခြေအနေဖြစ်သည့်  {{Math|''l'' {{=}} ''w''}} ဖြစ်သော စတုရန်းတို့တွင် ဘေးအနား s ရှိသော စတုရန်း၏ ဧရိယာသည် ဖော်ပြပါပုံသေနည်းအတိုင်း ဖြစ်သည်:<ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|title=Area of Square|publisher=ProofWiki.org|accessdate=29 May 2016}}</ref>
: ''A'' = ''s''<sup>2</sup>&nbsp;(စတုရန်း)
ထောင့်မှန်စတုဂံ၏ ဧရိယာပုံသေနည်းသည် ဧရိယာ၏ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများမှ ဆင်းသက်လာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းကို ဖွင့်ဆိုချက် သို့ စစ်မှန်သော အမှန်တရားအဖြစ် ယူကြသည်။ အခြားအနေဖြင့်လည်း အကယ်၍ [[ဂျီဩမေတြီ]]သာ [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ထက် စောစီးစွာ တိုးတက်ဖွံ့ဖြိုးခဲ့မည်ဆိုပါက ဤပုံသေနည်းကို [[Real number|ကိန်းစစ်များ]]၏ မြှောက်ခြင်းကို ဖော်ပြရာတွင် သုံးနိုင်ပေလိမ်မည်။
[[File:ParallelogramArea.svg|alt=A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|left|thumb|245x245px|တူညီသောဧရိယာရှိသော ပုံများ]]

==== ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်း၊ အနားပြိုင်စတုဂံနှင့် တြိဂံများ ====
အခြားရိုးရှင်းသော ဧရိယာ၏ ပုံသေနည်းများသည် [[Dissection (geometry)|ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာနည်း]]မှ ရရှိလာသည်။ ထိုအထဲတွင် ပုံများအား အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် ဖြတ်ထောက်ပြီး ထိုအစိတ်အပိုင်းများ၏ ဧရိယာကို မူလပုံ၏ ဧရိယာသို့ [[Addition|ပေါင်းထည့်ခြင်း]]တို့ ပါဝင်သည်။

ဥပမာအားဖြင့် မည်သည့် [[Parallelogram|အနားပြိုင်စတုဂံ]]ကိုဖြစ်စေ [[Trapezoid|တြာပီဇီယံ]](အနားမပြိုင်စတုဂံ)နှင့် [[ထောင့်မှန်တြိဂံ]]အဖြစ် ဘယ်ဘက်တွင်ပြသထားသောပုံကဲ့သို့ စိတ်ပိုင်းနိုင်သည်။  တြိဂံကို အနားမပြိုင်စတုဂံ၏ တခြားသောဘက်သို့ထားလိုက်မည်ဆိုပါက ထောင့်မှန်စတုဂံပုံကို ရရှိလာမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသည်ကို ကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အနားပြိုင်စတုဂံ၏ ဧရိယာသည် ထောင်မှန်စတုဂံ၏ ဧရိယာနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်နေသည်:
: ''A'' = ''bh'' <big>&nbsp;(အနားပြိုင်စတုဂံ)</big>
[[File:TriangleArea.svg|alt=A parallelogram split into two equal triangles|right|thumb|180x180px|တူညီသော တြိဂံများ]]
ထိုအနားပြိုင်စတုဂံကိုပင် ၎င်း၏[[Diagonal|ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း]]အတိုင်း ဖြတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ညာဘက်တွင်ပြသထားသော ပုံအတိုင်း [[Congruence (geometry)|ထပ်တူညီသော]] တြိဂံနှစ်ခုရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသည်ကို ကြည့်ခြင်းအားဖြင့် [[Triangle|တြိဂံ]]တစ်ခုစီ၏ဧရိယာသည် ထိုအနားပြိုင်စတုဂံ၏ ဧရိယာတစ်ဝက်စီဖြစ်နေမည်ဖြစ်သည်:
: <math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big>&nbsp;(တြိဂံ)</big>
ထိုကဲ့သို့သော အကြောင်းပြချက်များကို အသုံးပြု၍ [[Trapezoid|အနားမညီစတုဂံ]]<ref>{{citation|title=Problem Solving Through Recreational Mathematics|first1=Bonnie|last1=Averbach|first2=Orin|last2=Chein|publisher=Dover|year=2012|isbn=978-0-486-13174-0|page=306|url=https://books.google.com/books?id=Dz_CAgAAQBAJ&pg=PA306}}</ref>နှင့် ပိုမို ရှုပ်ထွေးသော [[Polygon|ဗဟုဂံ]]တို့၏ ဧရိယာများကို ရှာဖွေနိုင်သည်။<ref>{{citation|title=Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach|first=K. D.|last=Joshi|publisher=CRC Press|year=2002|isbn=978-0-8493-1319-6|page=43|url=https://books.google.com/books?id=5SDcLHkelq4C&pg=PA43}}</ref>

=== မျဉ်းကွေးများပါဝင်သော ပုံများ၏ ဧရိရှာကို ရှာဖွေခြင်း ===

==== စက်ဝိုင်း ====
[[File:CircleArea.svg|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|right|thumb|A circle can be divided into sectors which rearrange to form an approximate parallelogram.]]
[[စက်ဝိုင်း]]အတွက် ဧရိယာရှာရန်ပုံသေနည်း (သေချာစွာ ပြောရမည်ဆိုလျှင် စက်ဝိုင်းတစ်ခုဖြင့် ပတ်ရံထားသော ဧရိယာ သို့ [[Disk (mathematics)|အပြား]]တစ်ခု၏ ဧရိယာ)သည် အနားပြိုင်စတုဂံတို့၏ ဧရိယာကို ရှာဖွေနည်းကဲ့သို့ တူညီသောနည်းကို အခြေခံထားခြင်းဖြစ်သည်။ ပေးထားသော စက်ဝိုင်း၏ အချင်းဝက်သည် {{Math|''r''}} ဖြစ်မည်ဆိုပါက ထိုစက်ဝိုင်းကို [[Circular sector|စက်ဝိုင်းစိတ်]]များအဖြစ် ညာဘက်တွင်ပြသထားသောပုံအတိုင်း ခွဲစိတ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ စက်ဝိုင်းစိတ်တိုင်းတစ်ခုစီသည် တြိဂံပုံနီးနီးဖြစ်နေပြီး ထိုစက်ဝိုင်းစိတ်များကို ပြန်လည်နေကျချစီလိုက်မည်ဆိုပါက အနာပြိုင်စတုဂံပုံနှင့် တူလုနီးပါး ရရှိလာမည်ဖြစ်သည်။ ထိုအနားပြိုင်စတုဂံ၏ အမြင့်သည် {{Math|''r''}} ဖြစ်ပြီး အကျယ်သည် [[Circumference|စက်ဝန်းမျဉ်း]]၏ တဝက် သို့ {{Math|π''r''}} ဖြစ်သည်။  ထိုကြောင့် စက်ဝိုင်း၏ စုစုပေါင်းဧရိယာသည် {{Math|''r'' × π''r''}}, သို့ {{Math|π''r''<sup>2</sup>}} ဖြစ်သည်:
: ''A'' = π''r''<sup>2</sup> <big>&nbsp;(စက်ဝိုင်း)</big>
ဤပုံသေနည်းတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းကို အသုံးပြုထားလင့်ကစား ခန့်မှန်းခြေမျှသာရရှိသည် စက်ဝိုင်းကို စက်ဝိုင်းစိတ်များ ပို၍ပို၍ခွဲနိုင်လေလေ မှားနိုင်ချေနည်းနိုင်သမျှ နည်းလေဖြစ်သည်။ အနားပြိုင်စတုဂံနှင့် တူလှနီးပါပုံ၏ ဧရိယာ [[Limit (mathematics)|ကန့်သတ်ချက်]]သည် စက်ဝိုင်းဧရိယာ  {{Math|π''r''<sup>2</sup>}} အတိအကျပင်ဖြစ်သည်။

ဤအကြောင်းပြချက်သည် အမှန်စင်စစ် [[ကဲကုလပ်]]၏ သဘောသဘာဝကို ရိုးရှင်းစွာ အသုံးချခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ရှေးကာလက စက်ဝိုင်း၏ ဧရိယာရှာဖွေရန် [[method of exhaustion]] နည်းကို ထိုနည်းအတိုင်း အသုံးပြုခဲ့ဘူးသည်။ ယခုအခါ ထို method of exhaustion နည်းကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ်]]၏ ရှေ့ပြေးအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ခေတ်မှီနည်းများဖြစ်သော [[definite integral]] နည်းကို အသုံးပြု၍ စက်ဝိုင်း၏ ဧရိယာကို အောက်ပါအတိုင်းတွက်ထုတ်နိုင်သည်:
: <math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.</math>

==== ဘဲဥပုံ အီလစ်များ ====
[[Ellipse|ဘဲဥပုံ]]ဖြင့် ပတ်ရံထားသော ဧရိယာအတွက် ပုံသေနည်းမှာ စက်ဝိုင်းပုံသေနည်းနှင့် ဆက်နွယ်နေပြီး [[Semi-major axis|semi-major]] နှင့် [[Semi-minor axis|semi-minor]] axes များဖြစ်သည့် {{Math|''x''}} နှင့် {{Math|''y''}} ရှိသော အီလစ်အတွက် ပုံသေနည်းမှာ:<ref name=AF/>
:<math>A = \pi xy .</math>

== ကိုးကား ==
{{reflist|30em}}

[[Category:ဧရိယာ]]